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苦逼三种最小二乘法在工程测量中的应用-工程测量之家

作者: admin 　发布: 2019-06-02　分类:全部文章　阅读: 790次

三种最小二乘法在工程测量中的应用-工程测量之家
前面公众号文章《直线的最小二乘拟合》、《如何进行平面拟合》、《平面拟合的第三种计算方法》、《圆的最小二乘拟合》、《圆球的最小二乘拟合》以及《布尔沙(Bursa)模型详解》、《四参数严密计算》、《优化与拟合在工程测量中的解读》均提到了最小二乘法八奇洞。本篇文章专题探讨最小二乘法在工程测量中的应用朱颜血系列。
01最小二乘法的发展历史最小二乘法由法国科学家勒让德于1806年独立发明(德国科学家高斯于1809年发表于他的著作《天体运动论》）我爱你很多 。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。(摘自百度百科)距离最早发明最小二乘法的72年后，Adcock(1878年)、Pearson(1901年)、Koopmans(1937年)在各自应用领域提出最小二乘法中存在的缺陷问题。距离最早缺陷问题提出的102年后，Golub等于1980年提出总体最小二乘法(Total Least Squares，简称TLS)的解决方法，在这之前的最小二乘法称为经典最小二乘法(Least Squares，简称LS)。（摘自同济大学教学ppt）后来，人们又提出TLS和LS的两种联合解决方法LS-TLS。
02三种方法的区别最小二乘法本是为解决超定方程的计算问题，在无解的情况下增加了一个条件：误差的平方和最小。三种计算方法的根本区别就在于Ax=b的误差源。LS计算误差只来源于b，而A是没有误差的，TLS计算认为A也是有可能有误差的黄雨桐，而LS-TLS认为A不是每一列都有误差，可以分有无两种情况分开来算。
03三种计算方法1、经典最小二乘法(LS)(略。前面介绍了很多恋曲哆来咪，详细可参阅有关数学书籍或误差理论书籍）2、总体最小二乘法(TLS)这种计算较为复杂何莉秀，目前采用对增广矩阵[A b]作SVD分解。SVD分解速度较慢，相比LS中矩阵乘法、求逆等慢了很多。目前对矩阵作SVD分解MATLAB速度不错希普曼，但不明具体算法，快速SVD分解目前还有很多人研究。求解过程：原型：Ax=b对增广矩阵[A b]作SVD分解，形成U，S，V矩阵，SVD分解满足如下定义：[A b]=U*S*V'V'为V的共轭转置，实数域即V的转置。

(原文公式有误，作了修改)
3、LS-TLS
将矩阵A分为有无误差两部分，分别按TLS、LS求解即可。

04效果比较
我们在Anew中，对直线拟合y=ax+b(一元线性规划)进行了LS、TLS实现赵弋。计算示例如下：

仅Y有误差(LS)

xy均有误差(TLS)
两种计算方式中的△d均为点到拟合直线的几何距离，残差中误差可以直接比较。从残差中误差可以看出，TLS拟合的直线在“残差平方和最小”的原则下更合理铳墓 。
05三种最小二乘法在工程测量中的应用
在工程测量中，大多数情况下TLS要合理一些，在坐标转换计算中，LS-TLS用得多一些（A中有固定纯量存在，无误差）。三种最小二乘法对于参数的计算影响并不是想象那么大，很小李羲儿，有时候可以忽略不计，只是从理论的严密上TLS更优，而TLS在计算速度上难以容忍于乃伟，期待SVD快速算法的研究突破，工程测量人员用MATLAB的时候并不多，电脑上老安装个庞大的MATLAB总觉得没必要。
06小结
要学习和体会LS、TLS、LS-TLS永生的和平鸽，非编程不可为，即便使用MATLAB，马翠霞也有编程的需要大云山汉墓 ，只是方便使用各种数学计算方法。对于测量人员，了解一些原理，知道有哪些方式存在，避免在面临实际应用时不知所措李察基尔。
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